提到数据库索引，我们并不陌生，在日常工作中会经常接触到。比如某一个 SQL 查询比较慢，分析完原因之后，我们可能就会说『给某个字段加个索引吧』之类的解决方案。但到底什么是索引，索引又是如何工作的呢？今天就一起来聊聊这个话题吧。
什么是索引
简单来说，索引的出现是为了提高数据查询的效率，就像书的目录一样。一本 500 页的书，如果你想快速找到其中的某一个知识点，在不借助目录的情况下，估计你可得找一会儿。同样，对于数据库的表而言，索引就是它的『目录』。
索引模型
理论上来说，只要能提高读写效率的数据结构都可以作为索引模型。这里只介绍三种常见的数据结构，它们分别是哈希表、有序数组和搜索树。
哈希表
哈希表是一种以键-值（key-value）形式来存储数据的结构，我们只要输入待查找的键（key），就可以找到其对应的值（Value）。哈希表的思路很简单，把值放在数组里，用一个哈希函数把 key 换算成一个确定的位置，然后把 value 放在数组的这个位置上。
我们知道，多个 key 经过哈希函数的换算，可能会映射到同一个位置（哈希冲突）。处理这种情况的一种方法是，在这个位置上生成一个链表。
假设，你现在维护着一个身份证信息和姓名的表，需要根据身份证号查找对应的名字，这时对应的哈希索引的示意图如下所示：
哈希索引示意图
图中，User2 和 User4 根据身份证号算出来的值都是 N，但没关系，后面跟了一个链表。假设，这时候你要查 id_4 对应的名字是什么，处理步骤就是：首先，将 id_4 通过哈希函数算出 N；然后，按顺序遍历，找到 User4。
需要注意的是，图中四个 id_n 对应的值并不是递增的，这样做的好处是增加新的 User 时速度会很快，只需要做一次哈希计算。但缺点是，因为不是有序的，所以哈希索引做区间查询的速度是很慢的。你可以设想下，如果你现在要找身份证号在 [id_x, id_y] 这个区间的所有用户，就必须全部扫描一遍了。
所以，哈希表这种结构适用于只有等值查询的场景，比如 Memcached 及其他一些 NoSQL 引擎。
有序数组
有序数组在等值查询和范围查询场景中的性能都非常优秀。还是上面这个根据身份证号查名字的例子，如果我们使用有序数组来实现的话，示意图如下所示：
有序数组索引示意图
我们假设身份证号没有重复，这个数组就是按照身份证号递增的顺序保存的。这时候如果你要查 id_4 对应的名字，用二分法就可以快速查到，这个时间复杂度是 \(O(\log n)\)。
显然，这个索引结构支持范围查询。你要查身份证号在 [id_x, id_y] 区间的 User，可以先用二分法找到 id_x（如果不存在 id_x，就找到大于 id_x 的第一个 User），然后向右遍历，直到查到第一个大于 id_y 的身份证号，退出循环。
如果仅仅看查询效率，有序数组就是最好的数据结构了。但是，在需要更新数据的时候就麻烦了，你往中间插入一个记录就必须得挪动后面所有的记录，成本太高。所以，有序数组索引只适用于静态存储引擎，比如你要保存的是 2017 年某个城市的所有人口信息，这类不会再修改的数据。
二叉搜索树
二叉搜索树也是课本里经典的数据结构了。还是上面根据身份证号查名字的例子，如果我们用二叉搜索树来实现的话，示意图如下所示：
二叉搜索树索引示意图
二叉搜索树的特点是：每个节点的左儿子小于父节点，父节点又小于右儿子。这样你要查 id_4 的话，按照图中的搜索顺序就是 UserA -> UserC -> UserG -> User4 这个路径得到。这个时间复杂度是 \(O(\log n)\)。
当然，为了维持 \(O(\log n)\) 的查询复杂度，你就需要保持这棵树是平衡二叉树，所以更新的时间复杂度也是 \(O(\log n)\)。
树可以是二叉，也可以是多叉。多叉树就是每个节点有多个儿子，儿子之间的大小保证从左到右递增。二叉树是搜索效率最高的，但实际上大多数的数据库存储却不使用二叉树。其原因是，索引不止保存在内存中，还要写到磁盘上。
你可以想象一下一棵 100 万节点的平衡二叉树，树高 20。一次查询可能需要访问 20 个数据块。在机械硬盘时代，从磁盘随机读一个数据块需要 10 ms 左右的寻址时间。也就是说，对于一个 100 万行的表，如果使用二叉树来存储，单独访问一个行可能需要 200 ms 的时间，这是我们无法接受的。
为了提高查询效率，我们不应该使用二叉树，而是要使用 N 叉树。N 叉树中的 N 取决于数据块的大小。N 叉树凭借在读写上的性能优势，以及适配磁盘的访问模式，已经被广泛应用在数据库引擎中了。
以 InnoDB 的一个整数字段索引为例，这个 N 差不多是 1200。这棵树高是 4 的时候，就可以存 1200 的 3 次方个值，这已经 17 亿了。考虑到树根的数据块总是在内存中的，一个 10 亿行的表上一个整数字段的索引，查找一个值最多只需要访问 3 次磁盘。其实，树的第二层也有很大概率在内存中，那么访问磁盘的平均次数就更少了。
不管是哈希还是有序数组，或者 N 叉树，它们都是不断迭代、不断优化的产物或者解决方案。数据库技术发展到今天，跳表、LSM 树等数据结构也被用于引擎设计中，这里就不再一一展开了。
你心里要有个概念，数据库底层存储的核心就是基于这些索引模型的。每碰到一个新数据库，我们需要先关注它的索引模型，这样才能从理论上分析出这个数据库的适用场景。
InnoDB 的索引模型
在 MySQL 中，索引是在存储引擎层实现的，所以并没有统一的索引标准，即不同存储引擎的索引的工作方式不一样。在 InnoDB 中，表都是根据主键顺序以索引的形式存放的，这种表被称为索引组织表。InnoDB 使用了 B+ 树索引模型，所以数据都是存储在 B+ 树中的。
假设，我们有一个主键列为 ID 的表，表中有字段 k，并且在 k 上有索引。
建表语句
1 | create table T( id int primary key, k int not null, index (k))engine=InnoDB; |
表中 R1~R5 的 (ID,k) 值分别为 (100,1)、(200,2)、(300,3)、(500,5) 和 (600,6)，两棵树的示意图如下：
InnoDB 的索引组织结构
从图中不难看出，根据叶子节点的内容，索引类型分为主键索引和非主键索引。主键索引的叶子节点存的是整行数据。 在 InnoDB 里，主键索引也被称为聚簇索引（clustered index）。非主键索引的叶子节点存的是主键的值。 在 InnoDB 里，非主键索引也被称为二级索引（secondary index）。
根据上面的说明，我们来讨论一个问题：基于主键索引和普通索引的查询有什么区别？
- 如果语句是 select * from T where ID=500，即主键查询方式，则只需要搜索 ID 这棵 B+ 树；
- 如果语句是 select * from T where k=5，即普通索引查询方式，则需要先搜索 k 索引树，得到 ID 的值为 500，再到 ID 索引树搜索一次。这个过程称为回表。
也就是说，基于非主键索引的查询需要多扫描一棵索引树。因此，我们在应用中尽量要使用主键来查询。
索引维护
B+ 树为了维护索引有序性，在插入新值的时候需要做必要的维护。
以上面这个图为例，如果插入行的 ID 值为 700，只需要在 R5 这条记录的后面插入一个新记录即可。如果新插入的 ID 值为 400，就相对麻烦了，需要逻辑上挪动后面的数据，空出位置。而更糟的情况是，如果 R5 所在的数据页已经满了，根据 B+ 树的算法，这时候需要申请一个新的数据页，然后挪动部分数据过去。这个过程称为页分裂。在这种情况下，性能自然会受影响。除了性能外，页分裂操作还影响数据页的利用率。原本放在一个页的数据，现在分到两个页中，整体空间利用率降低大约 50%。
当然有分裂就有合并。当相邻两个页由于删除了数据，利用率很低之后，数据页将被合并。合并的过程可以认为是分裂的逆过程。
基于上面索引维护过程的说明，我们来讨论一个案例：
你可能在一些建表规范里面见到过类似的描述，要求建表语句里一定要有自增主键。这是为什么呢？
自增主键
自增主键是指自增列上定义的主键，在建表语句中一般是这么定义的：NOT NULL PRIMARY KEY AUTO_INCREMENT。插入新记录的时候可以不指定 ID 的值，系统会获取当前 ID 最大值加 1 作为下一条记录的 ID 值。
也就是说，自增主键的插入数据模式，正好符合了我们前面提到的递增插入的场景。每次插入一条新记录，都是追加操作，都不涉及到挪动其他记录，也不会触发叶子节点的分裂。当有业务逻辑的字段做主键时，则往往不容易保证有序插入，这样写数据的成本相对较高。
除了性能方面的考虑，我们还可以从存储空间的角度来看。假设你的表中确实有一个唯一字段，比如字符串类型的身份证号，那应该用身份证号做主键，还是用自增字段做主键呢？
由于每个非主键索引的叶子节点上存的是主键的值。如果用身份证号做主键，那么每个二级索引的叶子节点占用约 20 个字节，而如果用整型做主键，则只要 4 个字节，如果是长整型（bigint），则是 8 个字节。显然，主键长度越小，普通索引的叶子节点就越小，普通索引占用的空间也就越小。所以，从性能和存储空间方面考量，自增主键往往是更合理的选择。
业务主键
那什么场景适合用业务字段直接做主键呢？例如，有些业务的场景是这样的：
- 只有一个索引。
- 该索引必须是唯一索引。
你一定看出来了，这就是典型的 KV 场景。由于没有其它索引，所以也就不用考虑其他索引的叶子节点大小。这时候我们就要优先考虑上一段提到的『尽量使用主键查询』原则，直接将这个索引设置为主键，可以避免每次查询时都搜索两棵索引树。
小结
今天，我们分析了数据库引擎常用的几个数据结构，以及为什么 InnoDB 要选择 B+ 树这个结构。B+ 树能够很好地配合磁盘的读写特性，减少单次查询的磁盘访问次数。 由于 InnoDB 是索引组织表，一般情况下建议创建一个自增主键，这样非主键索引占用的空间最小。 但事无绝对，也存在使用业务逻辑字段做主键的应用场景，要学会具体场景具体分析。